z = x² + y²
cortado en z = 9.0 → circunferencia de radio √9.0 = 3.00
La circunferencia como curva de nivel de z = x² + y²
A cada punto (x, y) del plano, la expresión x² + y² le asigna un número. Eso es una función de dos variables, y su gráfico no es una curva sino una superficie en ℝ³: el paraboloide celeste. La altura sobre cada punto del piso es el valor de la función ahí.
Mové el slider z. El plano naranja horizontal se sube y se baja, y donde toca la superficie aparece la curva de intersección: los puntos donde la función vale exactamente ese número. Bajá esa curva al piso y tenés la circunferencia de la guía. Girá la cámara y mirala desde arriba: desde ahí las dos se superponen.
En z = 9 el radio es 3; en z = 4, 2; en z = 16, 4. La raíz que aparecía al despejar no era un artificio del álgebra: es la altura del corte. Y si bajás el plano por debajo de cero, el corte desaparece — el paraboloide no llega ahí. Eso es, geométricamente, por qué x² + y² = −1 no tiene solución.
Las curvas tenues son los cortes en z = 1, 4, 9, 16. Proyectadas todas juntas al piso dan las circunferencias concéntricas que viste en la primera vista. Es exactamente lo que hace un mapa de montaña: dibujar en el plano las curvas de igual altura. Donde están apretadas, la superficie sube a pique.
Curvas de nivel es de los primeros temas de funciones de varias variables, y son la herramienta para entender un gráfico en ℝ³ sin dibujarlo. Después reaparecen en el gradiente — que resulta ser siempre perpendicular a la curva de nivel — y en los multiplicadores de Lagrange. Que tu primer ejercicio de la guía ya sea una curva de nivel no es casualidad.
La circunferencia como curva de nivel de z = x² + y²
A cada punto (x, y) del plano, la expresión x² + y² le asigna un número. Eso es una función de dos variables, y su gráfico no es una curva sino una superficie en ℝ³: el paraboloide celeste. La altura sobre cada punto del piso es el valor de la función ahí.
Mové el slider z. El plano naranja horizontal se sube y se baja, y donde toca la superficie aparece la curva de intersección: los puntos donde la función vale exactamente ese número. Bajá esa curva al piso y tenés la circunferencia de la guía. Girá la cámara y mirala desde arriba: desde ahí las dos se superponen.
En z = 9 el radio es 3; en z = 4, 2; en z = 16, 4. La raíz que aparecía al despejar no era un artificio del álgebra: es la altura del corte. Y si bajás el plano por debajo de cero, el corte desaparece — el paraboloide no llega ahí. Eso es, geométricamente, por qué x² + y² = −1 no tiene solución.
Las curvas tenues son los cortes en z = 1, 4, 9, 16. Proyectadas todas juntas al piso dan las circunferencias concéntricas que viste en la primera vista. Es exactamente lo que hace un mapa de montaña: dibujar en el plano las curvas de igual altura. Donde están apretadas, la superficie sube a pique.
Curvas de nivel es de los primeros temas de funciones de varias variables, y son la herramienta para entender un gráfico en ℝ³ sin dibujarlo. Después reaparecen en el gradiente — que resulta ser siempre perpendicular a la curva de nivel — y en los multiplicadores de Lagrange. Que tu primer ejercicio de la guía ya sea una curva de nivel no es casualidad.
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