La demostración por inducción fuerte, desplegada como un árbol
Cada entero n > 1 es primo, o se puede escribir como un producto de primos. Nada más. Movés el slider de n y el árbol te muestra la descomposición de ese número: los nodos ámbar son compuestos — todavía se pueden partir — y los verdes son primos: ahí la partición se termina.
La inducción común dice “si vale para n − 1, vale para n”, y acá no alcanza: si n = 12 se parte en 3 · 4, ninguno de los dos es 11. Por eso Apostol usa inducción fuerte: la hipótesis es que el teorema vale para todos los enteros k con 1 < k < n. La k no es un número particular: es el nombre del bloque entero de números ya verificados, la banda verde de abajo.
Si n no es primo, por definición admite un divisor d con 1 < d < n. Escribís n = c · d, y c = n / d también queda entre 1 y n. Las dos flechas punteadas son literalmente eso: c y d aterrizando adentro de la banda ya demostrada. Como cada uno es primo o producto de primos, su producto — n — también lo es.
Es la misma idea que una función que se llama a sí misma, y la inducción es la garantía de que termina: cada vez que partís, los dos pedazos son estrictamente más chicos que el original. No podés bajar para siempre dentro de los enteros mayores que 1, así que el árbol siempre toca fondo — y el fondo son primos.
Apostol dice “admite un divisor d”, no dice cuál. Cambiá cómo partir entre el primo más chico y el corte más parejo: el árbol cambia de forma, pero la lista de hojas es siempre la misma. Eso que estás viendo es la parte (2) del teorema, la unicidad de la descomposición, que Apostol prueba más adelante y para la que necesita justamente los divisores comunes.
La demostración por inducción fuerte, desplegada como un árbol
Cada entero n > 1 es primo, o se puede escribir como un producto de primos. Nada más. Movés el slider de n y el árbol te muestra la descomposición de ese número: los nodos ámbar son compuestos — todavía se pueden partir — y los verdes son primos: ahí la partición se termina.
La inducción común dice “si vale para n − 1, vale para n”, y acá no alcanza: si n = 12 se parte en 3 · 4, ninguno de los dos es 11. Por eso Apostol usa inducción fuerte: la hipótesis es que el teorema vale para todos los enteros k con 1 < k < n. La k no es un número particular: es el nombre del bloque entero de números ya verificados, la banda verde de abajo.
Si n no es primo, por definición admite un divisor d con 1 < d < n. Escribís n = c · d, y c = n / d también queda entre 1 y n. Las dos flechas punteadas son literalmente eso: c y d aterrizando adentro de la banda ya demostrada. Como cada uno es primo o producto de primos, su producto — n — también lo es.
Es la misma idea que una función que se llama a sí misma, y la inducción es la garantía de que termina: cada vez que partís, los dos pedazos son estrictamente más chicos que el original. No podés bajar para siempre dentro de los enteros mayores que 1, así que el árbol siempre toca fondo — y el fondo son primos.
Apostol dice “admite un divisor d”, no dice cuál. Cambiá cómo partir entre el primo más chico y el corte más parejo: el árbol cambia de forma, pero la lista de hojas es siempre la misma. Eso que estás viendo es la parte (2) del teorema, la unicidad de la descomposición, que Apostol prueba más adelante y para la que necesita justamente los divisores comunes.
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