Medir dos números con la misma regla, y que en los dos cierre justo
d | a se lee “d divide a a”, y quiere decir que existe un entero c con a = c · d. Visualmente: a es una barra y d es la unidad con la que la medís. Si la barra se llena con copias enteras de d y no sobra nada, entonces d | a. Lo que sobra — el trozo rojo — es el resto, y con que haya resto ya alcanza para que no divida.
d es divisor común de a y b cuando pasan las dos cosas a la vez: d | a y d | b. Movés d y vas a ver que la mayoría de los valores fallan en alguna de las dos barras. Los que cierran en las dos son pocos.
Cada marca naranja arriba del eje es un divisor de a; cada marca violeta abajo es un divisor de b. Los puntos cyan son las posiciones donde coinciden: ésos son los divisores comunes. Fijate que el 1 siempre está — todo número es divisible por 1 —, así que la lista nunca queda vacía.
Como los divisores comunes son finitos y hay al menos uno, siempre existe el mayor de todos: el mcd(a, b), el punto cyan más a la derecha. Y algo que no es obvio mirando el dibujo pero se ve en el eje: todos los otros divisores comunes son divisores del mcd. No hay ninguno suelto por ahí que no sea factor de él.
Esa última observación es literalmente la segunda mitad del Teorema 1.6, y la razón entra en un renglón. El teorema da un d divisor común que además se escribe d = ax + by. Si ahora e es cualquier divisor común de a y b, entonces divide a todo lo que armes sumando copias de los dos — en particular divide a ax + by, que es d. Por eso no puede haber un divisor común “suelto”: todos son factores del mcd.
Probá a = 7 y b = 12: queda un solo divisor común, el 1, y entonces mcd(7, 12) = 1. En ese caso Apostol dice que a y b son primos entre sí — la misma idea que se suele llamar coprimos. Ojo que no significa que sean primos: 12 no lo es. Significa que no comparten ningún factor primo.
Que el mcd se pueda escribir como a·x + b·y es lo que se ve en la página siguiente, y es la herramienta con la que después se prueba la unicidad de la descomposición en primos.
Medir dos números con la misma regla, y que en los dos cierre justo
d | a se lee “d divide a a”, y quiere decir que existe un entero c con a = c · d. Visualmente: a es una barra y d es la unidad con la que la medís. Si la barra se llena con copias enteras de d y no sobra nada, entonces d | a. Lo que sobra — el trozo rojo — es el resto, y con que haya resto ya alcanza para que no divida.
d es divisor común de a y b cuando pasan las dos cosas a la vez: d | a y d | b. Movés d y vas a ver que la mayoría de los valores fallan en alguna de las dos barras. Los que cierran en las dos son pocos.
Cada marca naranja arriba del eje es un divisor de a; cada marca violeta abajo es un divisor de b. Los puntos cyan son las posiciones donde coinciden: ésos son los divisores comunes. Fijate que el 1 siempre está — todo número es divisible por 1 —, así que la lista nunca queda vacía.
Como los divisores comunes son finitos y hay al menos uno, siempre existe el mayor de todos: el mcd(a, b), el punto cyan más a la derecha. Y algo que no es obvio mirando el dibujo pero se ve en el eje: todos los otros divisores comunes son divisores del mcd. No hay ninguno suelto por ahí que no sea factor de él.
Esa última observación es literalmente la segunda mitad del Teorema 1.6, y la razón entra en un renglón. El teorema da un d divisor común que además se escribe d = ax + by. Si ahora e es cualquier divisor común de a y b, entonces divide a todo lo que armes sumando copias de los dos — en particular divide a ax + by, que es d. Por eso no puede haber un divisor común “suelto”: todos son factores del mcd.
Probá a = 7 y b = 12: queda un solo divisor común, el 1, y entonces mcd(7, 12) = 1. En ese caso Apostol dice que a y b son primos entre sí — la misma idea que se suele llamar coprimos. Ojo que no significa que sean primos: 12 no lo es. Significa que no comparten ningún factor primo.
Que el mcd se pueda escribir como a·x + b·y es lo que se ve en la página siguiente, y es la herramienta con la que después se prueba la unicidad de la descomposición en primos.
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