Toda la prueba de Apostol cabe en dos rectas que se cruzan
Acá el eje horizontal ya no son los números reales: es ε. Cada punto del eje x es un valor posible de ε, y la escena 1D de la página anterior es una sola línea vertical de este plano. Mové el slider de ε y vas a ver esa línea barrer el gráfico.
La barrera y = b + ε es una recta de pendiente 1 que arranca en b. El valor y = a es una horizontal. La hipótesis del teorema pide una sola cosa: que la horizontal quede por debajo de la diagonal en todo el semiplano ε > 0.
Dos rectas de pendiente distinta se cruzan en exactamente un punto: acá, en ε = a − b. Si a > b, ese cruce cae a la derecha del origen y queda un triángulo rojo colgando. Cada ε de ese tramo rompe la desigualdad, y con uno solo alcanza para tumbar el “para todo ε”.
El ε que usa Apostol, ε* = (a − b)/2, es el punto medio de la base del triángulo: lo más lejos que se puede estar de los dos bordes peligrosos — el 0, donde ε dejaría de ser positivo, y el cruce, donde dejaría de fallar. La barra rosa vertical es cuánto le sobra a la desigualdad para romperse.
El cruce se va a ε ≤ 0, fuera del semiplano donde la hipótesis tiene algo que decir. El triángulo no es que se achique: directamente deja de existir. No queda ningún ε positivo que probar, y por eso a ≤ b es inevitable. Toda la demostración es mirar de qué lado del cero cae ese cruce.
Toda la prueba de Apostol cabe en dos rectas que se cruzan
Acá el eje horizontal ya no son los números reales: es ε. Cada punto del eje x es un valor posible de ε, y la escena 1D de la página anterior es una sola línea vertical de este plano. Mové el slider de ε y vas a ver esa línea barrer el gráfico.
La barrera y = b + ε es una recta de pendiente 1 que arranca en b. El valor y = a es una horizontal. La hipótesis del teorema pide una sola cosa: que la horizontal quede por debajo de la diagonal en todo el semiplano ε > 0.
Dos rectas de pendiente distinta se cruzan en exactamente un punto: acá, en ε = a − b. Si a > b, ese cruce cae a la derecha del origen y queda un triángulo rojo colgando. Cada ε de ese tramo rompe la desigualdad, y con uno solo alcanza para tumbar el “para todo ε”.
El ε que usa Apostol, ε* = (a − b)/2, es el punto medio de la base del triángulo: lo más lejos que se puede estar de los dos bordes peligrosos — el 0, donde ε dejaría de ser positivo, y el cruce, donde dejaría de fallar. La barra rosa vertical es cuánto le sobra a la desigualdad para romperse.
El cruce se va a ε ≤ 0, fuera del semiplano donde la hipótesis tiene algo que decir. El triángulo no es que se achique: directamente deja de existir. No queda ningún ε positivo que probar, y por eso a ≤ b es inevitable. Toda la demostración es mirar de qué lado del cero cae ese cruce.
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