Si a ≤ b + ε para todo ε > 0, entonces a ≤ b
La franja de color es la zona donde a tiene permitido estar: todo lo que queda a la izquierda de la barrera b + ε. Movés a, b y ε y la franja se recalcula. Verde: la desigualdad se cumple. Rojo: se rompe.
Bajá ε despacio con el slider y mirá la barrera deslizarse hacia b. Nunca llega: ε es positivo, así que siempre queda algo a la derecha. Pero se acerca tanto como quieras, y ese “tanto como quieras” es todo lo que el teorema necesita.
Ahora activá achicar ε → 0. La animación se frena sola, siempre en el mismo lugar: el punto medio del hueco, ε* = (a − b)/2. Ese ε es positivo (porque el hueco lo es) y más chico que el hueco, así que la barrera queda corta y a se sale de la zona permitida.
Cualquier ε con 0 < ε < a − b sirve — es todo el tramo rojo. Apostol elige el punto medio porque es la fórmula más corta que garantiza las dos cosas a la vez: que sea positivo y que entre en el hueco, sin abrir casos.
Dejá achicar ε → 0 activado y mirá un rato. El tramo rojo desapareció y ε cae hacia cero para siempre sin que pase nada. No hay ningún valor de ε que rompa la desigualdad, por chico que lo hagas. Esa diferencia entre los dos casos es el teorema.
Si a ≤ b + ε para todo ε > 0, entonces a ≤ b
La franja de color es la zona donde a tiene permitido estar: todo lo que queda a la izquierda de la barrera b + ε. Movés a, b y ε y la franja se recalcula. Verde: la desigualdad se cumple. Rojo: se rompe.
Bajá ε despacio con el slider y mirá la barrera deslizarse hacia b. Nunca llega: ε es positivo, así que siempre queda algo a la derecha. Pero se acerca tanto como quieras, y ese “tanto como quieras” es todo lo que el teorema necesita.
Ahora activá achicar ε → 0. La animación se frena sola, siempre en el mismo lugar: el punto medio del hueco, ε* = (a − b)/2. Ese ε es positivo (porque el hueco lo es) y más chico que el hueco, así que la barrera queda corta y a se sale de la zona permitida.
Cualquier ε con 0 < ε < a − b sirve — es todo el tramo rojo. Apostol elige el punto medio porque es la fórmula más corta que garantiza las dos cosas a la vez: que sea positivo y que entre en el hueco, sin abrir casos.
Dejá achicar ε → 0 activado y mirá un rato. El tramo rojo desapareció y ε cae hacia cero para siempre sin que pase nada. No hay ningún valor de ε que rompa la desigualdad, por chico que lo hagas. Esa diferencia entre los dos casos es el teorema.
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