d(P, Q) ≤ ε
Alguna bola lo deja afuera ⟹ P ≠ Q
Si ‖P − Q‖ ≤ ε para todo ε > 0, entonces P = Q
El Teorema 1.1 habla de números reales, y acá seguimos teniendo uno solo: d(P, Q), la distancia. Aplicalo con a = d(P, Q) y b = 0 y te dice que d(P, Q) ≤ 0. Como una distancia nunca es negativa, vale exactamente cero, y dos puntos a distancia cero son el mismo punto.
En la recta, a tenía que vivir en (−∞, b+ε]. Acá P tiene que vivir dentro de la bola de radio ε centrada en Q. Es la misma condición: lo único que cambió es que la medimos con una norma en vez de con el orden de ℝ.
Las esferas de alambre son ε/2, ε/4, ε/8. Activá achicar ε → 0 y mirá el radio caer. La intersección de todas las bolas de radio positivo centradas en Q es un único punto: Q. Cualquier P distinto se cae en algún nivel.
La esfera rosa tiene radio ε* = d(P, Q) / 2: la misma fórmula de Apostol, con el mismo argumento. Es positiva porque los puntos son distintos, y deja a P claramente afuera. Movés P y la bola rosa lo sigue — nunca lo alcanza.
Este corolario es la herramienta estándar para probar que dos cosas son iguales cuando no podés calcularlas: unicidad del límite de una sucesión, unicidad del supremo, que dos integrales coinciden. Nunca probás la igualdad de frente; probás que la distancia es menor que cualquier ε, y el Teorema 1.1 hace el resto.
Si ‖P − Q‖ ≤ ε para todo ε > 0, entonces P = Q
El Teorema 1.1 habla de números reales, y acá seguimos teniendo uno solo: d(P, Q), la distancia. Aplicalo con a = d(P, Q) y b = 0 y te dice que d(P, Q) ≤ 0. Como una distancia nunca es negativa, vale exactamente cero, y dos puntos a distancia cero son el mismo punto.
En la recta, a tenía que vivir en (−∞, b+ε]. Acá P tiene que vivir dentro de la bola de radio ε centrada en Q. Es la misma condición: lo único que cambió es que la medimos con una norma en vez de con el orden de ℝ.
Las esferas de alambre son ε/2, ε/4, ε/8. Activá achicar ε → 0 y mirá el radio caer. La intersección de todas las bolas de radio positivo centradas en Q es un único punto: Q. Cualquier P distinto se cae en algún nivel.
La esfera rosa tiene radio ε* = d(P, Q) / 2: la misma fórmula de Apostol, con el mismo argumento. Es positiva porque los puntos son distintos, y deja a P claramente afuera. Movés P y la bola rosa lo sigue — nunca lo alcanza.
Este corolario es la herramienta estándar para probar que dos cosas son iguales cuando no podés calcularlas: unicidad del límite de una sucesión, unicidad del supremo, que dos integrales coinciden. Nunca probás la igualdad de frente; probás que la distancia es menor que cualquier ε, y el Teorema 1.1 hace el resto.
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