x = 3·cos t, y = 3·sen t — un solo número genera el punto
Mirá el triángulo del radio vector: hipotenusa r, cateto adyacente x, cateto opuesto y. De la definición de siempre, cos t = x/r y sen t = y/r. Despejás y te queda x = r·cos t, y = r·sen t. No hay nada más.
Meté esas dos expresiones en x² + y² = r²: r²cos²t + r²sen²t = r², y dividiendo por r² queda cos²t + sen²t = 1. La identidad que memorizaste en el secundario es literalmente la ecuación de la circunferencia de radio 1. Por eso se llama pitagórica.
Un valor de x te daba dos puntos y te obligaba a partir la curva en ramas. Un valor de t te da un punto, siempre, sin raíces ni valor absoluto ni casos. Dejaste de describir los puntos por una condición que cumplen y pasaste a generarlos con una máquina: eso es parametrizar.
Prendé girar. A la derecha está el mismo movimiento, pero con t como eje horizontal: la altura del punto dibuja r·sen t y su sombra horizontal dibuja r·cos t. La línea punteada te muestra que la altura del punto y la altura de la onda son el mismo número. Las dos ondas del secundario no eran otra cosa que este punto girando.
Con t de 0 a 2π recorrés la curva una vez, en sentido antihorario; pasado 2π volvés a empezar, y esa periodicidad es lo que significa que la curva sea cerrada. Parametrizar es la herramienta base para curvas en el plano y el espacio, longitud de arco e integrales de línea. Y de yapa: x = a + r·cos t, y = b + r·sen t te mueve el centro a donde quieras.
x = 3·cos t, y = 3·sen t — un solo número genera el punto
Mirá el triángulo del radio vector: hipotenusa r, cateto adyacente x, cateto opuesto y. De la definición de siempre, cos t = x/r y sen t = y/r. Despejás y te queda x = r·cos t, y = r·sen t. No hay nada más.
Meté esas dos expresiones en x² + y² = r²: r²cos²t + r²sen²t = r², y dividiendo por r² queda cos²t + sen²t = 1. La identidad que memorizaste en el secundario es literalmente la ecuación de la circunferencia de radio 1. Por eso se llama pitagórica.
Un valor de x te daba dos puntos y te obligaba a partir la curva en ramas. Un valor de t te da un punto, siempre, sin raíces ni valor absoluto ni casos. Dejaste de describir los puntos por una condición que cumplen y pasaste a generarlos con una máquina: eso es parametrizar.
Prendé girar. A la derecha está el mismo movimiento, pero con t como eje horizontal: la altura del punto dibuja r·sen t y su sombra horizontal dibuja r·cos t. La línea punteada te muestra que la altura del punto y la altura de la onda son el mismo número. Las dos ondas del secundario no eran otra cosa que este punto girando.
Con t de 0 a 2π recorrés la curva una vez, en sentido antihorario; pasado 2π volvés a empezar, y esa periodicidad es lo que significa que la curva sea cerrada. Parametrizar es la herramienta base para curvas en el plano y el espacio, longitud de arco e integrales de línea. Y de yapa: x = a + r·cos t, y = b + r·sen t te mueve el centro a donde quieras.
Visitá la versión desktop para ver la visualización interactiva 3D